rubilnik-bor.ru
Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается по прямой линии на некоторое постоянное расстояние относительно центра масштабирования. Окружность — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек на плоскости, находящихся на постоянном расстоянии от определенной точки, называемой центром окружности.
Для доказательства того, что при гомотетии окружность переходит в окружность, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеется исходная окружность с центром в точке O и радиусом r. Введем понятие гомотетии с коэффициентом масштабирования k. Тогда каждая точка M(х, у) на исходной окружности перейдет в точку M'(x’, y’) на новой окружности.
Проведем прямую линию OM и прямую линию O’M’. Так как гомотетия сохраняет отношение расстояний, то отношения длин отрезков OM и O’M’ будут равны:
OM/O’M’ = r/r’, где r — радиус исходной окружности, r’ — радиус новой окружности.
Так как r и r’ постоянны, то масштабирующий коэффициент k должен быть таким, чтобы выполнялось соотношение:
k = r’/r
Таким образом, гомотетия окружности с центром O и радиусом r с коэффициентом масштабирования k переводит каждую точку M(х, у) на исходной окружности в точку M'(x’, y’) на новой окружности с центром O’ и радиусом r’. Значит, при гомотетии окружность переходит в окружность.
Гомотетия и окружность
Окружность — это геометрическое место точек, равноудаленных от центра.
Задача состоит в доказательстве того, что при гомотетии окружность переходит в окружность.
Доказательство этого факта основано на свойстве гомотетий: неравенство длин пересекающихся отрезков параллельными прямыми.
Рассмотрим гомотетию с центром в точке O и коэффициентом масштабирования k. Пусть дана окружность с центром в точке A и радиусом r.
Рассмотрим две точки на окружности, B и C. Длина отрезка AB будет равна r, а длина отрезка AC будет равна k*r, так как коэффициент масштабирования k воздействует на длины отрезков.
Построим прямую, проходящую через точки B и C, и пересекающую окружность в точках D и E.
Длина отрезка BD будет равна AD — AB (r — r), что равно 0. Аналогично, длина отрезка CE будет равна AE — AC (r — k*r), что также равно 0.
Таким образом, получаем, что при гомотетии длины отрезков BD и CE равны 0. Это означает, что точки D и E совпадают с точками B и C соответственно.
Таким образом, гомотетия переводит точки на окружности в точки на другой окружности с тем же центром, но измененным радиусом.
Следовательно, при гомотетии окружность переходит в окружность.
| Центр гомотетии | Коэффициент масштабирования | Радиус исходной окружности | Радиус новой окружности |
|---|---|---|---|
| A | k | r | k*r |
Определение гомотетии
Центр гомотетии — это точка, относительно которой происходит увеличение или уменьшение фигуры. Коэффициент гомотетии — это число, определяющее масштаб изменения фигуры. Если коэффициент гомотетии больше 1, то фигура увеличивается, если меньше 1 — уменьшается, если равен 1 — фигура остается неизменной.
Гомотетия имеет свойства, позволяющие утверждать, что при данном преобразовании окружность всегда переходит в окружность. Для этого необходимо, чтобы центр гомотетии лежал на окружности и коэффициент гомотетии был отличен от нуля.
| Свойство | Эффект на фигуру |
|---|---|
| 1. Пропорциональность | Все прямые линии, проходящие через центр гомотетии, переходят в параллельные прямые линии. |
| 2. Отрезки | Все отрезки, проходящие через центр гомотетии, увеличиваются или уменьшаются в одно и то же количество раз. |
| 3. Площади | Площадь фигуры увеличивается или уменьшается в квадрате коэффициента гомотетии. |
Определение окружности
Окружность характеризуется еще и диаметром — отрезком, соединяющим две противоположные точки на окружности и проходящим через ее центр. Диаметр равен удвоенному радиусу: D = 2r.
На плоскости окружность может быть задана точкой центра и радиусом, либо двумя произвольными точками на окружности.
Окружность является основой для множества геометрических конструкций и имеет множество свойств и характеристик, которые выполняются как для непустого множества точек на плоскости, так и для особенных случаев, например, окружность с центром в бесконечности или окружность с нулевым радиусом.
Свойства гомотетии
| Свойство | Описание |
| Переносимость | Гомотетия может быть выполнена в любой точке плоскости, а не только в начале координат. |
| Сохранение отношений расстояний | Гомотетия сохраняет соотношение расстояний между точками. Если две точки находились на одном отрезке до применения гомотетии, то и после преобразования они будут лежать на одном отрезке, в том же самом соотношении расстояний. |
| Окружности и окружности | При гомотетии окружность переходит в окружность с центром, совпадающим с центром исходной окружности. Радиус полученной окружности равен произведению радиуса исходной окружности на коэффициент гомотетии. |
| Прямые и параллельные прямые | Гомотетия прямые преобразует в прямые, параллельные исходным прямым. При этом расстояние между параллельными прямыми изменяется в соответствии с коэффициентом гомотетии. |
| Углы и их величины | Гомотетия сохраняет величины углов, но преобразует их размер. Углы, образованные двумя линиями, перемещаются параллельно самим себе. |
| Повороты | Гомотетия коммутативна с поворотами. Это означает, что если сначала выполнить поворот, а затем применить гомотетию или наоборот, то результат будет таким же. |
| Тригонометрические функции | Гомотетия приводит к изменению значений тригонометрических функций. Если угол между линиями составляет α, то после применения гомотетии угол изменяется на α*log(k), где k — коэффициент гомотетии. |
Гомотетия является важным инструментом геометрии и находит широкое применение в различных задачах, связанных с преобразованиями плоскости.
Свойства окружности
Основными свойствами окружности являются:
1. Диаметр и радиус: Диаметр окружности — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр. Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.
2. Длина окружности: Длина окружности определяется формулой Д = 2πr, где Д — длина, π — число пи (приблизительно равно 3.14159), r — радиус окружности.
3. Центральный и периферийный углы: Центральный угол — это угол, образованный двумя радиусами, соединяющими центр окружности с двумя точками окружности. Периферийный угол — это угол, образованный двумя отрезками, соединяющими центр окружности с точкой окружности и другой точкой на окружности.
4. Площадь окружности: Площадь окружности определяется формулой S = πr², где S — площадь окружности, π — число пи, r — радиус окружности.
Таким образом, при гомотетии (изменении размера) окружность переходит в окружность, сохраняя свои основные свойства.
Доказательство того, что гомотетия переводит окружность в окружность
Для доказательства того, что гомотетия переводит окружность в окружность, рассмотрим следующую ситуацию:
- Предположим, у нас есть окружность с центром O и радиусом r.
- Пусть точка A лежит на этой окружности.
- Построим гомотетию с коэффициентом масштабирования k, проходящую через точку A.
- Под действием этой гомотетии точка A отобразится в точку A’, причем отрезок OA’ будет иметь длину k*r.
- По определению гомотетии, прямая OA параллельна прямой O’A’, так как они являются соответствующими прямыми через соответствующие точки.
- Таким образом, получается, что окружность с центром O и радиусом r отображается в окружность с центром O’ и радиусом k*r, так как все точки окружности смещаются на одинаковое расстояние и сохраняют отношение расстояний к центру.
Таким образом, гомотетия переводит окружность в окружность с сохранением отношения радиусов.
Шаг 2: Определение гомотетии в координатной системе
Для определения гомотетии в координатной системе, необходимо знать координаты центра гомотетии и коэффициент гомотетии.
Первым шагом определения гомотетии в координатной системе является выбор центра гомотетии. Центр гомотетии — это точка, относительно которой выполняется масштабирование. Обозначим координаты центра гомотетии как (x0, y0).
Вторым шагом является выбор коэффициента гомотетии. Коэффициент гомотетии — это число, на которое умножаются координаты каждой точки фигуры. Обозначим коэффициент гомотетии как k.
Для нахождения новых координат после гомотетии применяем формулы:
- Новая координата x’ = x0 + k * (x — x0),
- Новая координата y’ = y0 + k * (y — y0),
Где (x, y) — исходные координаты точки, (x’, y’) — новые координаты точки после гомотетии.
Используя эти формулы, мы можем определить новые координаты для каждой точки фигуры и построить новую фигуру, которая будет подобной исходной фигуре, но с измененным размером.
Шаг 3: Доказательство перехода окружности в окружность при гомотетии
Доказательство того, что при гомотетии окружность переходит в окружность, может быть представлено следующим образом.
Пусть имеется начальная окружность с центром в точке O и радиусом r. Пусть также дано гомотетическое преобразование с коэффициентом масштабирования k.
Рассмотрим любую точку P на исходной окружности. Расстояние от центра O до точки P равно радиусу r. При применении гомотетического преобразования координаты точки P изменятся следующим образом:
x’ = k * x
y’ = k * y
где x и y — координаты точки P, а x’ и y’ — новые координаты точки P после применения гомотетии.
Таким образом, мы можем записать новое расстояние от центра O до точки P’ после применения гомотетии:
r’ = sqrt((x’)^2 + (y’)^2)
r’ = sqrt((k * x)^2 + (k * y)^2)
r’ = sqrt(k^2 * (x^2 + y^2))
r’ = k * sqrt(x^2 + y^2)
Заметим, что выражение k * sqrt(x^2 + y^2) представляет собой новый радиус r’ окружности с центром в точке O’.
Таким образом, мы получаем, что каждая точка P на исходной окружности будет переходить в точку P’ на новой окружности с центром в точке O’ и радиусом r’ при применении гомотетии.
Таким образом, доказывается, что при гомотетии окружность переходит в окружность.