rubilnik-bor.ru
Четность функции является одним из важных свойств функций, которое позволяет нам изучать функции симметричного характера. Доказательство четности или нечетности функции требует выполнения некоторых алгебраических преобразований и анализа ее графика. В данной статье мы рассмотрим доказательство четности функции f(x) = 7cos(4x) + 3x².
Чтобы доказать, что функция f(x) является четной, необходимо показать, что она удовлетворяет условию f(-x) = f(x) для любого значения x. В нашем случае, нам нужно проверить условие 7cos(4(-x)) + 3(-x)² = 7cos(4x) + 3x².
Преобразуем левую часть уравнения: 7cos(-4x) + 3(-x)² = 7cos(4x) + 3x². Так как cos(-x) = cos(x), то получаем: 7cos(4x) + 3x² = 7cos(4x) + 3x². Полученное уравнение подтверждает, что функция f(x) является четной.
График четной функции симметричен относительно оси ординат. Это означает, что если точка (x, y) принадлежит графику функции f(x), то точка (-x, y) также принадлежит графику этой функции. В случае нашей функции f(x) = 7cos(4x) + 3x², график будет симметричным относительно оси ординат.
Постановка задачи
Методы доказательства четности функции
Существуют несколько методов доказательства четности функции:
1. Аналитический метод. Для доказательства четности функции необходимо заменить каждую переменную х на -х и проверить, равны ли значения функции до и после замены. Если значения равны, то функция является четной.
2. Графический метод. Построить график функции и проверить его симметричность относительно оси ординат. Если график симметричен, то функция явялется четной.
3. Использование основных свойств функции. Если функция f(x) является четной, то выполняются следующие свойства:
— f(-x) = f(x) — значение функции для аргумента -х равно значению функции для аргумента х;
— f(x) + f(-x) = 0 — функция четная, если сумма значений функции для аргумента х и -х равна нулю;
— f(x + a) = f(x — a) — значение функции с аргументом х + а равно значению функции с аргументом х — а, где а — произвольное число.
Использование этих свойств позволяет доказать четность функции, не выполняя замены переменных и строения графика.
Четность функции 7cos4x
Для доказательства четности функции 7cos4x, необходимо проверить выполнение условия f(x) = f(-x).
Рассмотрим функцию f(x) = 7cos4x.
Для начала заметим, что функция cos4x является четной и 7 — это константа.
Доказательство основывается на том, что cos4x = cos(-4x), т.е. cos4x и cos(-4x) имеют одинаковые значения для любого x.
Получается, что f(x) = 7cos4x = 7cos(-4x) = f(-x), что и требовалось доказать.
Таким образом, функция 7cos4x является четной.
Четность функции 3x^2
Четная функция — это функция, которая обладает особенностью симметрии относительно оси ординат, то есть выполняется равенство f(x) = f(-x) для любого значения x из области определения функции.
В случае функции 3x^2, для проверки ее четности необходимо заменить аргумент x на -x и сравнить значения функции. Давайте это сделаем:
f(-x) = 3(-x)^2 = 3x^2
Очевидно, что полученное значение функции f(-x) равно исходному значению функции f(x), следовательно, функция 3x^2 является четной функцией.
Доказательство четности функции 7cos4x
Для данной функции, заменяя x на -x, получим:
7cos4(-x) = 7cos(-4x)
Согласно формуле косинуса двойного угла:
cos(-2x) = cos(2x)
Таким образом:
7cos(-4x) = 7cos(4x)
Полученное равенство показывает, что функция 7cos4x является четной, так как она сохраняет свои значения при замене переменной x на -x.
Итак, мы доказали, что функция 7cos4x является четной.
Доказательство четности 3x2
Для доказательства четности функции 3x2, необходимо убедиться, что она обладает свойством симметричности относительно оси ординат.
Прежде всего, определим само понятие четности функции. Функция f(x) называется четной, если для любого значения аргумента x выполнено равенство f(-x) = f(x). В случае с функцией 3x2 это означает, что f(-x) = f(x), где f(x) = 3x2.
Подставим -x вместо x в исходном выражении: (-x)2. Получаем (-x)2 = x2.
Сравнивая полученное выражение с исходным, видим, что они равны: x2 = x2. Это означает, что функция f(x) = 3x2 удовлетворяет условию четности.
Таким образом, доказано, что функция 3x2 является четной.
Следствие о четности произведения четных функций
Доказательство:
Так как функция $f(x)$ является четной, то для любого $x$ выполнено равенство $f(-x) = f(x)$. Аналогично, для функции $g(x)$ верно равенство $g(-x) = g(x)$. Подставим эти равенства в произведение функций:
$f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot g(x)$. Видим, что выражение справа также равно произведению функций при $x$, а значит, функция $f(x) \cdot g(x)$ является четной.
Таким образом, если функции $f(x)$ и $g(x)$ являются четными, то их произведение $f(x) \cdot g(x)$ также будет четной функцией.