rubilnik-bor.ru
Корень через дискриминант – один из самых популярных методов вычисления корней квадратного уравнения. Дискриминант – это число, определенное формулой, которое позволяет определить характер и количество корней уравнения. Основная идея метода заключается в использовании значения дискриминанта для вычисления корней уравнения.
Этот метод особенно полезен, когда необходимо найти корни значительного количества квадратных уравнений, так как он позволяет оценить их характер без необходимости решать уравнение полностью. Также метод находит применение в физике, математике, экономике и других областях, где квадратные уравнения часто используются для описания реальных явлений.
В данной статье будут рассмотрены два метода вычисления корня через дискриминант: метод подстановки и метод формулы. Кроме того, приведены примеры и подробные расчеты для лучшего понимания и освоения материала.
Методы вычисления корня через дискриминант
Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни.
Вычисление корня через дискриминант осуществляется с использованием формулы:
x = (-b ± √D) / (2a), где D — дискриминант, b — коэффициент при x, a — коэффициент при x^2.
Чтобы вычислить корни, нужно выполнить следующие шаги:
- Вычислить дискриминант D по формуле D = b^2 — 4ac.
- Проверить значение дискриминанта:
- Если D > 0, вычислить два корня по формуле.
- Если D = 0, вычислить один корень по формуле.
- Если D < 0, сказать, что уравнение не имеет действительных корней.
Пример использования метода вычисления корня через дискриминант:
Дано: Квадратное уравнение 2x^2 + 3x — 5 = 0
Шаг 1: Вычисляем дискриминант D = (3^2) — 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49
Шаг 2: Проверяем значение дискриминанта:
- 49 > 0, значит уравнение имеет два корня.
- Вычисляем корни: x1 = (-3 + √49) / (2(2)) = (-3 + 7) / 4 = 4 / 4 = 1 и x2 = (-3 — √49) / (2(2)) = (-3 — 7) / 4 = -10 / 4 = -2.5.
Ответ: Квадратное уравнение 2x^2 + 3x — 5 = 0 имеет два корня: x1 = 1 и x2 = -2.5.
Геометрический метод
Геометрический метод вычисления корня квадратного уравнения через дискриминант связан с графическим представлением этого уравнения на координатной плоскости. Суть метода заключается в построении графика квадратного уравнения и определении точки его пересечения с осью абсцисс.
Для построения графика необходимо выразить уравнение в виде функции y = f(x), где y — значение функции, x — значение аргумента функции. Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 возможны два варианта построения графика: при a > 0 и при a < 0.
Если a > 0, то график квадратного уравнения будет представлять собой параболу, направленную вверх. В этом случае корни уравнения будут находиться на оси абсцисс в точках, где парабола пересекает эту ось.
Если a < 0, то график квадратного уравнения будет представлять собой параболу, направленную вниз. В этом случае корни уравнения также будут находиться на оси абсцисс в точках пересечения параболы с этой осью.
Таким образом, геометрический метод позволяет наглядно представить решение квадратного уравнения через дискриминант и определить его корни.
| a | Вид графика | Корни уравнения |
|---|---|---|
| a > 0 | Парабола, направленная вверх | Точки пересечения с осью абсцисс |
| a < 0 | Парабола, направленная вниз | Точки пересечения с осью абсцисс |
Алгебраический метод
Для квадратного уравнения общего вида ax² + bx + c = 0 дискриминант вычисляется по формуле: D = b² — 4ac. Зная значение дискриминанта, можно определить, сколько корней имеет уравнение.
Если дискриминант D > 0, то уравнение имеет два вещественных корня: x₁ = (-b + √D) / (2a) и x₂ = (-b — √D) / (2a).
Если дискриминант D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень: x = -b / (2a).
Если дискриминант D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней. В этом случае можно говорить о существовании двух комплексно-сопряженных корней: x₁ = (-b + i√|D|) / (2a) и x₂ = (-b — i√|D|) / (2a).
Алгебраический метод нахождения корня через дискриминант позволяет эффективно и точно определить, какие типы корней имеет квадратное уравнение, и найти их значения в соответствии с выведенными формулами и свойствами алгебры.
| Пример | Заданное уравнение | Значение дискриминанта | Корни уравнения |
|---|---|---|---|
| 1 | 4x² — 7x + 3 = 0 | D = 7² — 4 * 4 * 3 = 49 — 48 = 1 | x₁ = (7 + √1) / (2 * 4) ≈ 1.5 |
| 2 | x² + 8x + 16 = 0 | D = 8² — 4 * 1 * 16 = 64 — 64 = 0 | x = -8 / (2 * 1) = -4 |
| 3 | 3x² — 5x + 7 = 0 | D = 5² — 4 * 3 * 7 = 25 — 84 = -59 | x₁ = (5 + i√59) / (2 * 3) |
Численные методы
Одним из численных методов для решения квадратного уравнения является метод вычисления корня через дискриминант. Этот метод позволяет найти корни квадратного уравнения, используя его дискриминант и формулу.
Для вычисления корня через дискриминант сначала нужно вычислить значение дискриминанта по формуле: D = b^2 — 4ac. Затем, основываясь на значении дискриминанта, можно найти корни уравнения:
- Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня;
- Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень;
- Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Численные методы часто используются в случаях, когда аналитическое решение невозможно или слишком сложно. Они позволяют получить приближенное решение с помощью вычислительных методов. Такие методы часто применяются в различных областях науки и техники для моделирования, оптимизации, анализа данных и других задач.
Примеры вычислений
Давайте рассмотрим несколько примеров вычисления корня через дискриминант.
Пример 1:
Найдем корни уравнения 2x^2 + 5x — 3 = 0.
Сначала вычислим дискриминант:
D = b^2 — 4ac
D = 5^2 — 4 * 2 * (-3)
D = 25 + 24
D = 49
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня.
Теперь найдем корни:
x_1 = (-b + √D) / (2a)
x_1 = (-5 + √49) / (2 * 2)
x_1 = (-5 + 7) / 4
x_1 = 2 / 4
x_1 = 0.5
x_2 = (-b — √D) / (2a)
x_2 = (-5 — √49) / (2 * 2)
x_2 = (-5 — 7) / 4
x_2 = -12 / 4
x_2 = -3
Пример 2:
Найдем корни уравнения 3x^2 — 7x + 2 = 0.
Вычислим дискриминант:
D = b^2 — 4ac
D = (-7)^2 — 4 * 3 * 2
D = 49 — 24
D = 25
Дискриминант положительный, поэтому у уравнения есть два корня.
Найдем корни:
x_1 = (-b + √D) / (2a)
x_1 = (7 + √25) / (2 * 3)
x_1 = (7 + 5) / 6
x_1 = 12 / 6
x_1 = 2
x_2 = (-b — √D) / (2a)
x_2 = (7 — √25) / (2 * 3)
x_2 = (7 — 5) / 6
x_2 = 2 / 6
x_2 = 1/3
Пример 3:
Найдем корни уравнения x^2 — 6x + 9 = 0.
Вычислим дискриминант:
D = b^2 — 4ac
D = (-6)^2 — 4 * 1 * 9
D = 36 — 36
D = 0
Дискриминант равен нулю, это значит, что у уравнения есть только один корень (два корня совпадают).
Найдем корень:
x = -b / (2a)
x = -(-6) / (2 * 1)
x = 6 / 2
x = 3